SECT 7.2PROBLEMS INVOLVING LINESAND CIRCLES

I) SOLVING A SYSTEMS WITH LINES & CIRCLES

“Solving a System” means finding points where twofunctions intersect each other

Use “Elimination”, “Substitution”, or Graphs to solvea system

A circle and line can cross:

Twice!

Once!

None!

EX: SOLVE THE SYSTEM:

Circle!

Line!

Use Substitution, replace “y” with“x+1” in the circle equation

FOIL  the brackets

Solve for “x” by factoring!

There are two solutions!  The

X-coordinate for each point is: 2 and -1

Use the Line equation to solve for theY-coordinates of each intersection point

x

y

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2

-1

1

2

3

4

5

EX: SOLVE THE SYSTEM:

Circle!

Line!

Use Substitution, replace “y” with“-x+4” in the circle equation

FOIL  the brackets

Solve for “x” by factoring!

There are two solutions!  The

X-coordinate for each point is: 2 and 5

Use the Line equation to solve for theY-coordinates of each intersection point

x

y

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

II) CIRCLES AND TANGENT LINES

Note: The radius is perpendicular to the Tangent Line at the pointof tangency

Note: Two lines that are perpendicular have slopes that are“Negative Reciprocals” and multiply to -1.

         Ie:

When finding tangents equations to a circle:

Horizontal Tangents: Find both the highest & lowest point of thecircle

Vertical Tangents: Find points furthest to the right & left of thecircle

Tangents (Slanted): Find the slope of the radius to the tangentpoint slope of the tangent line (negative reciprocal)

III) HORIZONTAL & VERTICAL TANGENTS

Ex: Given the equation of the circle of the vertical andhorizontal tangents

x

y

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2

-1

1

2

3

4

5

Center:

Radius:

Vertical Tangents

Horizontal Tangents

IV) FINDING SLANTED TANGENTS TO A CIRCLE

Ex: Find the Tangent Line of                                    at (1,1)

x

y

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2

-1

1

2

3

4

5

Find the slope of the radiusCenter to Tangent Point

Find the slope of the Tangent Line(Negative Reciprocals)

Find the equation of the TangentLine  (Line Equation)

Ex: Find the Tangent Line of                                    at (1,3)

Find the slope of the radiusCenter to Tangent Point

Find the slope of the Tangent Line(Negative Reciprocals)

Find the equation of the TangentLine  (Line Equation)

EX: FIND THE TANGENTS TO THE CIRCLE WITH SLOPE OF

If the slope of the tangent line -3/4,the radius must be perpendicular to it

Tangent Line

Radius

Apply the slope of the radius to findthe intersection points.

Note: There are 2 intersection points