7.1 GRAPHING CIRCLES ANDELLIPSES
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I) REVIEW: DISTANCE FORMULA
The distance between two points A(x1,y1) and B(x2,y2)on a coordinate plane is given by the formula:
The formula comes from drawing a right triangle andusing the Pythagorean Theorem
HorizontalDistance
VerticalDistance
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Example 1:  Find length
given A (-2,-3) & B (1,4)
1.Plot the points
2.Make a right triangle
A (-2,-3)
B (1,4)
1 – (-2) = 3
Find the vertical distance
Find the horizontal distance
Using PYTHAGORAS, solve for
4 – (-3) = 7
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II) EQUATION OF A CIRCLE
The distance from the center to anywhere on thecircumference is the same distance
Create a circle equation using the distance formula
x
y
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
Radius “R”: Distance from the center to              any where on the circumference
Center (h,k) : The center is fixed, so
    use (x2,y2) as the center of the circle
Circumference (x,y) : The coordinatesof any point on the circumferencevaries, so we replace (x1,y1) usingvariables
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IV) HOW TO USE THE CIRCLE EQUATION
First, plot the center of the circle onto the graph
Second, plot several points that are the length of the radius             away from the center
Third, connect the points to draw the circle
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EX: INDICATE THE CENTER AND RADIUSFOR EACH OF THE FOLLOWING EQUATIONS
Not a circle!!
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EX: DRAW A CIRCLE WITH RADIUS 6 ANDCENTER AT (2,0) AND FIND THE EQUATION
x
y
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
Find the center
Radius
Plot several points 6 units away
From the center of the circle
Circle Equation
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EX: FIND THE EQUATION OF THE CIRCLE WITH THEENDPOINT OF ITS DIAMETER AT (4,6) AND (-6, -8)
x
y
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
The midpoint of the diameter is the center of the circle
The radius is half the diameter
Circle Equation:
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EX: THE POINT (3,Z) IS ON THE CIRCLE WITH ARADIUS OF 5 AND CENTER AT (-1,3).  FIND “Z”
If the point is on the circle, then it must “satisfy” the circle equation
Circle Equation:
Plug the point (3,z) into the equation to solve for “z”
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PROPERTIES OF AN ELLIPSE:
Major Axes: (aka Major Diameter)
Minor Axes: (aka Minor Diameter)
Semi Major Axes: (aka Major radius)
Semi Minor Axes: (aka Minor Radius)
Foci (f1, f2) the sum of the distance ofany point on the circumference toboth foci are the same
Major Axes
Minor Axes
Semi-MajorAxes
Semi-MinorAxes
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GRAPHING ELLIPSES
An ellipse is a circle with an expansion or compression
Suppose we have a circle of radius 1, the equation would be:
If we expand the circle horizontally, then:
If we expand the circle vertically, then:
Depending on which value is bigger ( “a” or “b”), the largervalue will be the semi major axes and the smaller value willbe the semi minor axes
Equation ofan ellipse
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EX: GRAPH THE ELLIPSE AND INDICATE THE SEMI-MAJOR/MINOR AXES:
x
y
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
Find the center
Find the values of “a” and “b”
“b” is the semi-major axes“a” is the semi-minor axes
When we have both axeswe can graph the ellipse
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x
y
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
EX: GRAPH THE ELLIPSE AND INDICATE THE SEMI-MAJOR/MINOR AXES:
Find the center
Find the values of “a” and “b”
“b” is the semi-major axes“a” is the semi-minor axes
When we have both axeswe can graph the ellipse
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“FOCI” OF AN ELLIPSE
The foci of an ellipse are two points on the major axes,where the sum of the distance from anywhere on thecircumference to each foci are equal
The foci are equal distances from the centre “ F ”
The value of “F” is given by the formula:
The sum of the blue lines is equalto the sum of the green lines
“F” is the distance from the foci tothe center of the ellipse
Semi-major axes
Semi-minor axes
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PROOF FOR THE FOCI
The length of both bluelines will be:
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